Entrevista: Alan Reid (Universidad de Rice, EE. UU.), codirector, junto con Martin Bridson (Universidad de Oxford, Reino Unido), de uno de los nuevos laboratorios del programa Severo Ochoa

La topología de baja dimensión es un área fundamental en matemáticas, debido a las propiedades únicas que emergen en estos espacios, que no se encuentran en dimensiones más altas. Por ejemplo, en tres dimensiones, los nudos o las variedades revelan fenómenos complejos, que no tienen un análogo en otras dimensiones. Además, es un campo con aplicaciones directas en la física, especialmente en teorías cuánticas de campos, teoría de cuerdas y la teoría de la relatividad, en la que para comprender la estructura del espacio-tiempo es crucial la geometría y la topología en tres dimensiones. En dimensiones bajas, la topología y la geometría están fuertemente interrelacionadas, como intuyó William Thurston –lo que culminó años más tarde en la demostración de la conjetura de geometrización de Grigori Perelman–. Thurston es una de las grandes referencias de Alan Reid, uno de los directores –en su caso, junto con Martin Bridson (Universidad de Oxford, Reino Unido, y director del Instituto Clay de Matemáticas)– de uno de los nuevos laboratorios Severo Ochoa. El matemático escocés es catedrático y director del Departamento de Matemáticas (desde 2018) de la Universidad de Rice (EE. UU.). Además de sus contribuciones a la topología de baja dimensión, Reid ha logrado resultados muy influyentes sobre variedades hiperbólicas y en la teoría geométrica de grupos.

Ágata Timón García-Longoria (ICMAT)

Pregunta (P): ¿Podría presentar los temas en los que se enfoca el laboratorio del ICMAT?
Respuesta (R): Se pueden agrupar bajo el paraguas de las interacciones entre la geometría y la topología de baja dimensión, la teoría geométrica de grupos y los grupos profinitos. Especificamente, trabajaremos en la rigidez profinita y en el desarrollo de una teoría estructural para grupos para-libres finitamente generados. Estos grupos, introducidos por Gilbert Baumslag en la década de 1960, han ganado protagonismo recientemente gracias al trabajo de Andrei Jaikin-Zapirain (ICMAT-UAM), quien los ha relacionado con la pregunta, aún abierta –propuesta por Vladimir Remeslennikov– sobre si el grupo libre es profinitamente rígido.

P: ¿Por qué decidió liderar este programa?

R: Los intereses de investigación del grupo del ICMAT que organiza el laboratorio están muy alineados con los de Martin Bridson y los míos. Es una gran oportunidad para tratar temas muy relevantes, como la rigidez profinita. Recientemente, Bertrand Rémy dio un seminario Bourbaki sobre este tema, titulado “Géométrie des groupes et complétion profinie, d’après Martin Bridson, Alan Reid et al.” en el Institut Henri Poincaré (París) en marzo de 2024.

«Los intereses de investigación del ICMAT se alinean con los de Bridson y los míos, especialmente en la rigidez profinita»

P: ¿Qué resultados o impacto le gustaría que tuviera este programa?

R: Nos gustaría exponer a investigadores jóvenes a nuevos y emocionantes desarrollos en campos que actualmente están muy activos en investigación. Por supuesto, sería estupendo si, durante el desarrollo del laboratorio, pudiéramos responder a la pregunta de Remeslennikov.

P: ¿Podría describir brevemente sus intereses de investigación?

R: Mis intereses de investigación siempre se han centrado en las conexiones entre la teoría de números, la geometría y la topología. Este enfoque está muy presente en el estudio de las variedades tridimensionales. Una de las ideas clave de William Thurston—matemático que revolucionó el campo de la topología y la geometría de baja dimensión—es que ciertas condiciones topológicas de una variedad en tres dimensiones pueden garantizar la existencia de una estructura geométrica en ella. Si no existe una estructura geométrica, entonces la variedad a menudo se puede descomponer en piezas más simples, un proceso influido por fenómenos de rigidez.

P: ¿Qué quiere decir con rigidez?

R: En dos dimensiones, superficies como una esfera o un toro son bastante flexibles: puedes estirar y cambiar su geometría. Pero en tres dimensiones o más, a menudo esa flexibilidad desaparece; las estructuras se vuelven rígidas, casi como pequeños diamantes. En cualquier clase o categoría de objetos que estudies, aparecen estos ‘diamantes’, y nuestro objetivo es encontrarlos, en la oscuridad, e identificar sus diversas propiedades. Este tipo de rigidez tiene profundas conexiones con la teoría de números, con implicaciones muy interesantes. La interacción entre rigidez, teoría de números, simetría y teoría de grupos ha estado en el centro de casi todo mi trabajo. Si tuviera que elegir dos palabras que encapsulen mi investigación, serían simetría y rigidez.

P: ¿Y si tuviera que encapsularlo en un objeto?

R: Sería el complemento del nudo de ocho en la esfera de tres dimensiones. Tiene la estructura de una variedad hiperbólica, lo que es una condición geométrica. Este es un ejemplo de lo que dijo Thurston: las condiciones topológicas en una variedad implican condiciones geométricas. Este complemento del nudo de ocho ha estado omnipresente durante toda mi carrera académica, lo he estudiado mucho, por varias razones, y todavía pienso en él.

P: ¿Cuál es su relación con William Thurston?

R: Es una de las personas que influyó significativamente en mi dirección matemática. Aunque no interactué mucho con él, nuestros encuentros fueron lo suficientemente significativos como para influir profundamente en mis ideas, en mi forma de pensar y en el enfoque que doy a los problemas; su perspectiva fue verdaderamente revolucionaria.

«Las ideas revolucionarias de Thurston moldearon profundamente mi enfoque matemático”

P: Aparte de él, ¿qué otro científico le ha impresionado más durante su carrera?

R: También he sido muy influenciado por colegas con quienes he escrito artículos, como Darren Long, un matemático británico, radicado en UC Santa Barbara. Hemos publicado 43 artículos juntos, lo que representa un serio compromiso de ambos. Además, es un amigo muy querido, incluso fue el padrino de mi boda. Martin Bridson [codirector del Laboratorio, presidente del Clay Mathematics Institute y Profesor Whitehead de Matemáticas Puras en la Universidad de Oxford] es otra figura influyente en mi carrera. También hay personas de orígenes matemáticos y culturales muy diferentes a los míos, con quienes he conectado de manera poderosa, como Alex Lubotzky [Profesor de Matemáticas en la Universidad Hebrea de Jerusalén, Israel]. Cuando estaba en la Universidad de Texas en Austin, trabajé junto a John Tate [Premio Abel 2010] y Karen Uhlenbeck [Premio Abel 2019] y, aunque no estaban en mi área específica, su enfoque de las matemáticas me resultó muy inspirador. Además, colaborar con matemáticos más jóvenes también ha tenido un papel importante en mi desarrollo. Es difícil nombrar a todos, pero me siento increíblemente afortunado de haber conocido y trabajado con todas estas personas notables.

P: ¿Cuál es su relación con Martin Bridson?

R: Conocí a Martin por primera vez en 1990 cuando él era investigador posdoctoral en la Universidad de Cornell y yo era estudiante postdoctoral en la Universidad Estatal de Ohio. Teníamos muchos intereses matemáticos –y no matemáticos– similares, y a lo largo de los años, intercambiamos correos electrónicos y nos encontrábamos en conferencias. Nuestra colaboración realmente comenzó en diciembre de 2009, cuando ambos estábamos visitando Nueva Zelanda y nosotros –y nuestras familias– nos quedamos en la casa de Gaven Martin, un matemático de la Universidad de Massey, durante las vacaciones de Navidad.  Empezamos a hablar sobre cuestiones de la rigidez profinita de los grupos fuchsianos, y esto finalmente llevó a nuestro primer artículo –con Marston Conder, de la Universidad de Auckland–. Desde entonces hemos colaborado –a veces también con otras personas– y hemos publicado siete artículos en total. Tenemos otro artículo en revisión y varios proyectos más en varias etapas de finalización (o no). Ha sido una experiencia increíblemente gratificante trabajar con Martin a lo largo de los años.

P: ¿Es importante la colaboración en matemáticas? Lo que usted describe rompe con el estereotipo del matemático solitario, trabajando por su cuenta en una torre de marfil…
R: Históricamente, esa imagen era bastante precisa. Incluso cuando yo era más joven, las matemáticas eran una disciplina más solitaria. Sin embargo, eso comenzó a cambiar con la llegada de Internet y el correo electrónico. Con una comunicación casi instantánea, ahora podemos escribir y editar artículos simultáneamente. Hoy en día, la colaboración se ha convertido en la norma para la mayoría de las personas.

P: Y más allá de la colaboración virtual, ¿qué valor tienen las reuniones físicas en esta disciplina?
R: Estar en un lugar como el ICMAT, no solo para una conferencia, sino para una estancia prolongada, ofrece algo muy tangible y visceral que todos extrañamos durante la pandemia. Aunque pudimos conectarnos a través de videollamada, la interacción personal –que fomentan nuevas colaboraciones y trae ideas frescas a problemas antiguos– parece ocurrir de manera mucho más efectiva cara a cara, de persona a persona. Hay una falta de comprensión sobre cómo interactúan los matemáticos y cuán crucial es la interacción social para la creatividad matemática.

P: ¿Podría dar un ejemplo?

R: Recuerdo una ocasión en que di una charla en una conferencia y, después, Ian Agol [director de un laboratorio del ICMAT (2020-2023), profesor en la Universidad de California, Berkeley, y Premio Breakthrough en Matemáticas 2016] se me acercó. Charlamos, y él lanzó algunas ideas que resultaron ser absolutamente acertadas, lo que nos llevó a escribir un artículo juntos. Este tipo de colaboración espontánea ocurre con frecuencia, y es una parte vital de la evolución de las matemáticas.

P: Hablando de artículos… ¿Qué resultados recientes en su campo destacaría?

R: Mis intereses son bastante amplios y destacaría varios que me gustan especialmente. Primero, “Arithmeticity, superrigidity, and totally geodesic submanifolds» (Annals of Math. 193, 2021) de Uri Bader, David Fisher, Nicholas Miller y Matthew Stover. En este artículo, los autores demuestran que la estructura de subvariedades totalmente geodésicas de variedades hiperbólicas de volumen finito caracteriza la aritmética de estas variedades. La prueba es una aplicación notable de ideas de la prueba de la superrigidez propuesta por Gregory Margulis.

En segundo lugar, «Hyperbolic 5-manifolds that fiber over S^{^1}» (Invent. Math., 2022) de Giovanni Italiano, Bruno Martelli y Matteo Migliorini. En este artículo, los autores proporcionan ejemplos de variedades hiperbólicas de 5 dimensiones, de volumen finito y con cúspides, que fibran sobre S^1. En consecuencia, logran responder a una pregunta de Mikhael Gromov: existe un grupo hiperbólico que contiene un subgrupo de tipo finito —es decir, es el grupo fundamental de un complejo celular asférico finito— que no es hiperbólico. En particular, también demuestran que existe un grupo de tipo finito que no es hiperbólico y que no contiene ningún subgrupo Baumslag–Solitar.

Finalmente, un artículo de Andrei Jaikin-Zapirain [ICMAT-UAM, codirector del Laboratorio]: «The finite and soluble genus of finitely generated free and surface groups» (2023). Este tema me interesa mucho actualmente; Andrei demuestra —aproximadamente— que los grupos con los mismos cocientes finitos que un grupo libre, son los llamados grupos para-libres, inventados por Gilbert Baumslag en la década de 1970. La cuestión de si el grupo libre está determinado por sus cocientes finitos es la vieja pregunta de Vladimir Remeslennikov, también de los años 70, a la que hacíamos referencia al comienzo de la conversación. El resultado de Andrei proporciona la primera estructura real a los grupos que podrían tener los mismos cocientes finitos que un grupo libre. Ha habido mucha actividad sobre esta cuestión recientemente, y el ICMAT organizó un congreso en 2023 que reunió a muchos de los expertos que están a la vanguardia en estos temas.

P: ¿Hay algún problema matemático que consideras particularmente desafiante en este campo?

R: Como ya he dicho, recientemente, he estado pensando mucho en la rigidez profinita. Si tienes un grupo infinito, ¿cómo lo estudiarías? ¿Hasta qué punto puedes distinguir tu grupo de todos los demás? Desde mi experiencia, me interesan los grupos que actúan sobre objetos, como espacios vectoriales o conjuntos finitos. Este enfoque te da grupos finitos como cocientes del grupo ambiente. Al examinar la lista de todos estos cocientes obtenidos de acciones sobre conjuntos finitos, ¿puedes distinguir el grupo original? Se trata de la misma pregunta de Remeslennikov, en su total generalidad, no solo para grupos libres.

P: ¿Qué temas de matemáticas fuera de tu campo te gustaría aprender más?

R: Parte de mi trabajo se conecta con la teoría de números y la teoría de formas automorfas. Me encantaría tener tiempo para profundizar más en esta área, y en particular en el trabajo relacionado con el programa de Langlands.

P: ¿Por qué eligió estudiar matemáticas?

R: En la escuela, me interesaban y se me daban bien varias materias. Fui a la universidad con la intención de estudiar Física, pero rápidamente me di cuenta de que encontraba las clases de matemáticas más interesantes, estimulantes y agradables, mientras que los aspectos experimentales no me entusiasmaban particularmente. La transición a estudiar matemáticas fue natural.

P: ¿Cómo fue su primera experiencia con la investigación matemática?

R: Cuando terminé mi licenciatura, me quedé en Aberdeen para hacer mi doctorado y durante el verano fui a visitar a mi director de tesis para charlar. Me dio un libro sobre teoría algebraica de números y me dijo «Lee esto y haz tantos ejercicios como puedas antes de septiembre». Aunque esto era, en cierto sentido, similar al trabajo que ya había hecho en el grado, lo sentí de manera diferente. Para mí, en ese momento, fueron los primeros pasos hacia la investigación.

P: ¿Qué disfrutó más de sus primeras experiencias con la investigación matemática?

R: Es una combinación de factores. Primero y, ante todo, me encantaba la materia. Desde el mismo momento en que comencé a hacer investigación, quedó claro que esto era lo que quería hacer. No se siente como un trabajo. Me siento increíblemente privilegiado de estar en una posición en la que puedo venir a un lugar como el ICMAT, estar rodeado de personas excepcionalmente talentosas, dotadas y creativas de diversos orígenes y culturas—algunas de las cuales conozco bien, y otras no tanto—y sentirme inspirado.

P: Tras su visita al ICMAT, ¿qué aspectos del instituto y del entorno destacaría?

R: Primero, la gente. Conozco a algunos de los investigadores desde hace bastante tiempo. Conozco a Javier [Aramayona] desde que era estudiante de posgrado, y su investigación está cerca de mi formación inicial. También conozco a Oscar García-Prada, Andrei Jaikin y Yago Antolín, y disfruto hablar con todos ellos. El ICMAT es una institución notable, y el Laboratorio Agol y los Laboratorios Hitching-Ngo han sido importantes atractores para la investigación matemática. La apertura de la institución para acoger a visitantes externos es fantástica. Martin Bridson y yo pasamos una semana aquí en 2019, y trabajamos en algo que eventualmente llevó a una publicación. Agradecimos al ICMAT en esa publicación porque la posibilidad de venir aquí y colaborar fue crucial. Aunque sea difícil de cuantificar, poder visitar lugares como este e interactuar con colaboradores y nuevas personas es increíblemente valioso.

“La apertura del ICMAT para acoger a visitantes externos es fantástica”

P: Ha incluido una declaración sobre diversidad de Chris Leininger en su página web. ¿Podría compartir algunas reflexiones sobre el estado actual de la diversidad en la comunidad matemática?

R: Todavía queda mucho por hacer. Hay muchas áreas donde podríamos mejorar. Aunque se ha hecho algún progreso y hay una creciente conciencia entre los matemáticos con los que interactúo de que necesitamos hacer más, la situación aún está lejos de ser ideal. Ha sido decepcionante ver una ligera disminución en el número de mujeres que ingresan al campo en los EE. UU., incluso cuando enfatizamos la necesidad de mejora y nos esforzamos por hacer que la comunidad sea más acogedora. Como alguien que ha dirigido varios departamentos de matemáticas, soy muy consciente de la necesidad de apoyar la diversidad, la inclusión y la equidad en la comunidad. Mi institución de origen, la Universidad Rice en Texas, está trabajando arduamente para mejorar las condiciones para las mujeres y las minorías subrepresentadas, pero es una situación difícil. Debemos seguir trabajando increíblemente duro para abordar estos problemas.

«A pesar del progreso realizado, todavía queda mucho por hacer para lograr la diversidad y la inclusión en matemáticas»

P: Además de las matemáticas, ¿qué otras actividades disfruta hacer?

R: Me gusta jugar al tenis, y debería tratar de encontrar tiempo para jugar más. De niño, me encantaba jugar al fútbol, y sigo el fútbol con interés; particularmente a mi equipo local Buckie Thistle, así como al Aberdeen y Manchester United. Cuando era niño probablemente no soñaba con ganar la Medalla Fields, sino con jugar al fútbol para Escocia.