Coloquio Conjunto ICMAT-UAM-UC3M-UCM “The dynamical view on gradient invariants of groups”, por Clara Löh (Universität Regensburg).
31 de mayo, 12:00, en el Aula 520 del Módulo 17 del Departamento de Matemáticas de la UAM. También se puede seguir online en este enlace.

Clara Löh, catedrática en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Ratisbona (Alemania), ha realizado contribuciones en diversos temas: sobre el volumen simplicial, la cohomología acotada, la homología l1, los invariantes L2, la teoría geométrica de grupos, la computabilidad en topología geométrica y los asistentes de demostración para la investigación en matemáticas. Löh realizó su doctorado en la WWU Münster (Alemania), en 2007, donde también ocupó un puesto posdoctoral hasta 2010, cuando se incorporó en la Universidad de Ratisbona. Hoy, viernes 31 de mayo, imparte el Coloquio Conjunto ICMAT-UAM-UC3M-UCM: “The dynamical view on gradient invariants of groups”. Antes de su coloquio, le hemos pedido que presente, para una audiencia no experta, algunos de los conceptos centrales de este tema de investigación.

Clara Löh es ponente del Coloquio Conjunto ICMAT-UAM-UC3M-UCM. Imagen: Petra Lein

¿Qué son los invariantes de grupo? ¿Por qué es interesante su estudio?

Los grupos son estructuras algebraicas básicas, ubicuas en la matemática moderna. Por ejemplo, los grupos de simetría –basados en el conjunto de transformaciones que preservan la estructura de un objeto– y los grupos fundamentales –que capturan la forma esencial de un espacio a través de bucles– surgen en varias áreas de las matemáticas. Por lo tanto, comprender los grupos y su estructura es clave para entender objetos más complejos. Para estudiar grupos, usamos el llamado principio de invariancia: los invariantes se construyen de tal manera que los invariantes de los grupos isomorfos tienen el mismo valor. Nos enfocaremos en un tipo simple de invariantes: los que asignan números reales a grupos.

¿Qué son los invariantes de gradientes? ¿En qué contextos aparecen?

Los invariantes de gradientes surgen al estudiar ciertos tipos de grupos: los grupos residualmente finitos. Estos son grupos que tienen «suficientes» subgrupos de índice finito. Tales grupos surgen como grupos fundamentales en muchas situaciones geométricamente interesantes, por ejemplo, como grupos fundamentales de variedades cerradas de tres dimensiones o de variedades hiperbólicas. Estas variedades aparecen, en la vida real, al modelar el universo, sistemas físicos con muchos grados de libertad o conjuntos de datos con muchos parámetros. Los invariantes de gradientes normalizan los invariantes de grupo sobre el sistema de todos los subgrupos de índice finito de un grupo dado (residualmente finito). Creemos que, para las 3-variedades hiperbólicas aritméticas, los gradientes asociados a los números de Betti contienen información aritmética.

¿Qué son los sistemas dinámicos de grupos? ¿Podría proporcionar algunos ejemplos?

Unos ejemplos básicos de sistemas dinámicos son las rotaciones racionales e irracionales en el círculo. Más generalmente, en este contexto, un sistema dinámico de un grupo es una acción del grupo en un espacio de probabilidad que preserva una medida de probabilidad. Otros ejemplos son acciones de desplazamiento sobre sucesiones; acciones de traslación de grupos fundamentales de variedades riemannianas en cocientes compactos por el grupo de isometría del recubrimiento universal riemanniano; o la acción de traslación de un grupo residualmente finito en su compleción profinita.

¿Cómo se emplea este enfoque dinámico y cómo puede ayudar a calcular invariantes de gradientes?

En lugar de estudiar la familia de todos los subgrupos de índice finito y los valores del invariante en todos estos grupos, se puede intentar combinar toda esta información en un único objeto global que viva sobre la acción de traslación en la compleción profinita. Trabajar con tales objetos globales sobre sistemas dinámicos puede abrir nuevas opciones para cálculos y resultados de herencia.

¿Qué desafíos le gustaría destacar en esta área?

Hay mucha actividad relacionada con los gradientes de números de Betti con coeficientes en campos finitos y con el crecimiento de la homología de torsión logarítmica –el invariante gradiente asociado con el tamaño de la parte de torsión de la homología integral–. Los principales desafíos son de naturaleza analítica: encontrar buenas herramientas analíticas para trabajar sobre campos finitos –en lugar de los números complejos– y manejar determinantes truncados –que aparecen en estimaciones del tamaño de la torsión–. En el lado dinámico, para muchos grupos, es difícil entender la amplia variedad de todos los sistemas dinámicos y cómo se relacionan entre sí.

¿Por qué le gusta esta área de investigación y cómo llegó a ella?

Encuentro fascinante la interacción entre la teoría de grupos, la topología, la geometría, el álgebra homológica y los sistemas dinámicos. Originalmente, comencé a trabajar en volumen simplicial –un invariante topológico de variedades con propiedades geométricas interesantes–. Varios problemas abiertos importantes sobre el volumen simplicial resultaron estar relacionados con invariantes gradientes y la visión dinámica sobre invariantes gradientes.

¿Podría presentar algunas de sus contribuciones a este campo de las que esté más orgullosa?

El volumen simplicial integral estable es el invariante de gradiente asociado al volumen simplicial integral. Probamos que el volumen simplicial integral estable de las variedades tridimensionales cerradas asféricas es proporcional –con un factor conocido– al volumen hiperbólico. Este cálculo hace uso de la visión dinámica sobre el volumen simplicial integral estable y combina construcciones geométricas concretas con resultados abstractos de la teoría ergódica. Es un trabajo conjunto con D. Fauser, M. Moraschini y J.P. Quintanilha.

Joint Mathematics Colloquium (ICMAT-UAM-UC3M-UCM) “The dynamical view on gradient invariants of groups

Abstract:

For a residually finite group, on the one hand, one can study the asymptotic behaviour of group invariants along systems of finite index subgroups, normalised by the index. For example, this leads to Betti number gradients, torsion homology gradients, and rank gradients. On the other hand, the profinite completion provides a dynamical system of the group. One may thus ask, to which extent gradient invariants can be described in terms of invariants of such dynamical systems.

In this talk, I will give a non-technical introduction to this dynamical approach and how the dynamical view can help calculating gradient invariants.