Esta semana, del 17 al 21 de junio, se celebra en el ICMAT la Summer School on h-principle, un encuentro formativo sobre un área muy activa en la investigación en geometría actual: el h-principio. El programa incluye tres mini cursos introductorios y siete conferencias avanzadas, impartidas por algunos de los expertos internacionales más destacados en este campo, que permite abordar problemas geométricos con herramientas algebraicas. Hablamos con Álvaro del Pino, profesor en la Universiteit Utrecht de Países Bajos, experto en el uso de técnicas de topología diferencial para estudiar estructuras geométricas y coorganizador del evento, sobre este fascinante tema.

Ágata Timón G Longoria (ICMAT)

Pregunta: Podríamos decir que la motivación del h-principio es, en general, sortear dificultades que aparecen al estudiar problemas geométricos, ¿nos puedes explicar la idea subyacente de esta técnica?

Respuesta: El objetivo en h-principio es reducir problemas geométricos a la llamada teoría de homotopía. La idea es, en general, la siguiente: uno quiere estudiar cierto problema geométrico que involucra tomar derivadas. A veces, es posible relacionar esto con el estudio de un segundo problema que no requiere tomar derivada alguna. Probar que ambos problemas son equivalentes es lo que llamamos h-principio. Una vez se ha probado esto, podemos usar la llamada teoría de homotopía –técnicas algebraicas para estudiar la forma que tienen los espacios– para resolver el segundo problema. Así, conseguimos pasarle la pelota a alguien que trabaje en teoría de homotopía. Por supuesto, estoy exagerando un poco: cuando tenemos aplicaciones concretas en mente, no nos importa ensuciarnos las manos y resolver el problema homotópico correspondiente.

P: ¿Podrías presentar algún ejemplo en el que se haya usado con éxito esta herramienta dentro de la investigación?

R: Estas ideas son increíblemente generales, así que son relevantes en cualquier área de la geometría y, hoy en día, también en ecuaciones parciales. A la vez, hay un montón de campo por explorar: hay unas pocas geometrías en las que el h-principio se ha usado muchísimo –por ejemplo, la geometría de contacto, la simpléctica, en foliaciones o en métricas de curvatura escalar positiva–, pero para la mayoría de las geometrías sabemos muy poco. Esto lo hace un campo atractivo para la gente joven, porque hay mucha actividad.

P: ¿Cuándo empezó a usarse? ¿Cuál fue la motivación inicial?

R: El término «h-principio» data de finales de los 60, así que podemos decir que se trata de un área relativamente joven. Sin embargo, en la década de 1930 ya aparecen los primeros resultados que podemos considerar como «proto h-principio». Desde finales del siglo XIX se había ido consolidando el concepto de «variedad», que es básicamente un espacio localmente euclídeo. Es decir, espacios que se parecen a la recta real, al plano, o al espacio 3-dimensional que bien conocemos; la esfera, la superficie del donut, el círculo, son ejemplos. Una pregunta clave en esa época era entender si es posible meter unas variedades en otras, y de cuántas maneras. Por ejemplo, ¿de cuántas maneras puedes colocar un círculo en la superficie de un donut, o en la superficie de la esfera?

Colocar variedades es mucho más interesante cuando pedimos que no queden arrugadas, picudas, o rotas. Matemáticamente, decimos entonces que la variedad la hemos colocado de forma inmersa. Si, adicionalmente, pedimos que la variedad esté colocada sin autointersecarse –sin cortarse consigo misma–, decimos que es un embebimiento. Por ejemplo, la esfera usual en el espacio de tres dimensiones, como solemos visualizarla habitualmente, está embebida; no tenemos autointersecciones en este caso. Sin embargo, si cogemos el polo norte y lo empujamos para abajo, haciendo que cruce el polo sur, la esfera se autointerseca en un círculo de puntos dobles y obtendríamos una especie de almohada, que es una inmersión, pero no un embebimiento.

Los primeros teoremas de «proto h-principio» se deben a Hassler Whitney en los años 30 del siglo XX. Entre otras cosas, Whitney probó que toda variedad puede meterse en un espacio euclídeo de dimensión suficientemente grande y, poco después, fue capaz de clasificar todas las inmersiones del círculo en el plano. A estos resultados les siguieron un montón de avances con el mismo espíritu. La dificultad en este tipo de problemas es que construir inmersiones requiere controlar derivadas: meter una variedad en otra es básicamente definir una función, y hacerlo sin arrugas o picos requiere construir una función cuya derivada es «buena». La época clásica en el estudio de inmersiones culmina, por tanto, a finales de los 50, cuando Stephen Smale y Morris Hirsch prueban que clasificar inmersiones es equivalente a clasificar monomorfismos del tangente, un problema que no involucra derivadas en absoluto.

Este resultado es uno de los pilares del h-principio. El otro es el trabajo de John Nash acerca de embebimientos isométricos, también en la década de los 50 del siglo XX. Sin embargo, no es hasta finales de los 60, cuando Gromov generaliza estas ideas a otras geometrías, que el h-principio se consolida como un tema por sí mismo.

«Mijaíl Gromov inició el h-principio moderno, que básicamente tiene como objetivo clasificar, homotópicamente, todas las estructuras geométricas en una variedad dada»

P: Y, ¿Cómo evolucionó la idea, desde esa perspectiva más moderna?

R: A finales de los 60 y principios de los 70 del siglo pasado, Mijaíl Gromov inició el h-principio moderno, que básicamente tiene como objetivo clasificar, homotópicamente, todas las estructuras geométricas en una variedad dada. Es decir, lo que Smale y Hirsch habían hecho para inmersiones, hacerlo para otras geometrías en las que las derivadas de los mapas satisfacen alguna restricción adicional. Esto se aplica a cualquier área dentro de la geometría diferencial, por tanto, a geometrías riemanniana, simpléctica, compleja y de contacto, foliaciones… Gromov clasificó en 1969 muchas geometrías en variedades abiertas –variedades que tienen una parte que «va a infinito»– con un teorema que generaliza lo que habían hecho Hirsch y Smale para las inmersiones. En los 70, con ideas totalmente nuevas, William Thurston clasificó las foliaciones en toda variedad, incluso cerrada, «sin infinito». En 1989, Yakov Eliashberg clasificó las llamadas estructuras de contacto overtwisted. Desde los 80 del siglo XX hasta la última década ya del XXI, el trabajo de Gromov, Eliashberg, Kai Cieliebak y Emmy Murphy (y otros) ha explicado cómo clasificar variedades complejas afines suaves, lo cual es increíblemente sorprendente, ya que uno a priori pensaría que son objetos extremadamente rígidos gobernados por la geometría algebraica.

P: También en España se ha trabajado con éxito en estos temas, ¿no es así?

R: Efectivamente. El grupo liderado por Francisco Presas (ICMAT-CSIC), del que formo parte, ha probado muchos resultados de clasificación similares para otras estructuras geométricas en los últimos años, sobre todo para distribuciones no integrables. Fran, Eva Miranda (Universitat Politècnica de Catalunya y Centre de Recerca Matemàtica), Daniel Peralta (ICMAT-CSIC), y Robert Cardona (Universitat de Barcelona) han usado ideas de h-principio para construir sistemas dinámicos que tienen ciertas propiedades de computación. Otras personas, entre ellos, el propio Peralta, Daniel Faraco (ICMAT-UAM), Francisco Gancedo (Universidad de Sevilla) y a Francisco José Mengual (Max Planck Institute for Mathematics, Alemania), han usado el h-principio para construir cierto tipo de soluciones –llamadas de baja regularidad– de las ecuaciones que describen el movimiento de los fluidos, que es un tema de enorme importancia hoy en día en el campo de ecuaciones en derivadas parciales.

«El grupo liderado por Francisco Presas (ICMAT-CSIC), del que formo parte, ha probado muchos resultados de clasificación similares para otras estructuras geométricas en los últimos años»

P: Muchas de las personas que has mencionado participáis en la Escuela

R: Todos los speakers del congreso somos gente que trabajamos activamente en h-principio, incluyendo a Yakov Eliashberg, uno de los padres de este asunto junto a Gromov, particularmente en lo que se refiere al uso del h-principio en geometría de contacto y simpléctica. La escuela está dirigida, sobre todo, a doctorandos y postdocs que trabajan en el área de la geometría diferencial. Algunos vienen de áreas en las que el h-principio es ya una técnica clave, pero otros vienen de disciplinas en las que todavía no entendemos bien qué papel juega esta herramienta. En ese sentido, va a ser una oportunidad estupenda para que un espectro amplio de gente interactúe.

Summer School on h-principle

La Escuela de verano tiene lugar del 17 al 21 de junio en el ICMAT e incluye cursos introductorios fundamentales sobre algunas de las principales técnicas del principio h (aproximación holonómica, integración convexa, arrugamiento), así como sobre aplicaciones recientes a la geometría y la topología. Se Impartirán los siguientes mini cursos introductorios:

• The holonomic approximation lemma, por Daniel Álvarez Gavela (Massachusetts Institute of Technology, MIT)
• Preliminaries in the philosophy of the h-principle , por Alvaro del Pino (Universiteit Utrecht)
• Convex integration, por Mélanie Theillière (Université de Luxembourg)

A esto se suman las siguientes charlas y mini cursos avanzados:

• Discretizing symplectic topology, por Mélanie Bertelson (Université Libre de Bruxelles)
• Wrinkling and generalized Morse functions, por Kai Cieliebak (Universität Augsburg)
• Flexible and Rigid facets of Mathematics, por Yakov Eliashberg (Stanford University)
• Delooping and h-principles, por Alexander Kupers (University of Toronto)
• Simplifying (and complicating) Weinstein presentations, por Oleg Lazarev (UMass Boston)
• The h-principle in the homotopy theory of foliations, por Gaël Meigniez (Aix-Marseille)
• The h-principle and Reeb/Beltrami embeddings, por Robert Cardona (Universitat de Barcelona)

El comité organizador de la Escuela está formado por Daniel Álvarez Gavela, Álvaro del Pino y Mélanie Theillière y cuenta con la financiación del ICMAT, la Universiteit Utrecht, el MIT y la Université de Luxembourg.

Álvaro del Pino

Álvaro del Pino es profesor de en la Universiteit Utrecht de Países Bajos. Antes de llegar a los Países Bajos, formó parte del ICMAT, donde obtuvo su doctorado bajo la supervisión de Francisco Presas (ICMAT-CSIC) en junio de 2017. Después, su primer contrato en Utrecht fue como investigador postdoctoral dentro del proyecto NWO Vici dirigido por Marius Crainic. En 2018 obtuvo él mismo una beca NWO, del tipo Veni. En 2024, comenzará un proyecto NWO Vidi. En 2022, fue uno de los galardonados con el premio Lichnerowicz en Geometría de Poisson.