Pablo Candela (UAM-ICMAT) y Balázs Szegedy (Alfréd Rényi Institute of Mathematics) son los autores de “Nilspace Factors for General Uniformity Seminorms, Cubic Exchangeability and Limits”, publicado en Memoirs of the American Mathematical Society.
Imagen: Íñigo de Amescua/ICMAT
El teorema de Szemerédi, demostrado en 1975, es uno de los grandes hitos de la combinatoria del siglo pasado. Garantiza la existencia de progresiones aritméticas finitas todo lo largas que se quiera en cualquier conjunto de números enteros suficientemente denso –en concreto, de densidad superior positiva–. El impacto de este resultado ha sido profundo, sobre todo, por las interacciones que ha generado entre diversas áreas matemáticas. En particular, en 1977 Hillel Furstenberg propuso una famosa prueba alternativa del teorema de Szemerédi que inició un vibrante intercambio entre la combinatoria y la teoría de sistemas dinámicos.
Otra demostración del teorema, dada por Timothy Gowers a finales de la década de 1990, introdujo nuevas herramientas analíticas, conocidas como normas de Gowers (o normas U^d), que condujeron a una generalización del análisis de Fourier clásico. Esta teoría permite descomponer cualquier función dada sobre un grupo abeliano compacto en armónicos fundamentales (los caracteres de Fourier), cuya estructura subyacente se basa en el grupo del círculo. Aunque la más pequeña de las normas de Gowers, la norma U^2, está estrechamente relacionada con la teoría clásica, las normas U^d de orden superior (es decir, para d > 2) no pueden analizarse en términos de los caracteres de Fourier clásicos, sino que requieren otros objetos para hacerlo, como las nilvariedades, Esta fue la motivación para desarrollar la generalización del análisis de Fourier clásico, que dio lugar a una teoría conocida como análisis de Fourier de orden superior. Entre los resultados obtenidos en este marco destaca el llamado teorema inverso para las normas de Gowers, demostrado por primera vez en el entorno de los números enteros por Ben Green, Terence Tao, Tamar Ziegler en 2010.
Paralelamente, siguió desarrollándose el intercambio entre combinatoria y sistemas dinámicos. En la década de 2000, destacan los trabajos de Bernard Host y Bryna Kra, que demostraron el teorema de la estructura ergódica, que establece una profunda conexión entre las nilvariedades y ciertas contrapartidas de las normas de Gowers en teoría ergódica –las seminormas de Host–Kra para sistemas que preservan la medida–. Las intrigantes analogías entre el teorema de la estructura ergódica y el teorema inverso para las normas de Gowers llevaron a buscar un marco conceptual que pudiera unificar estos dos resultados.
Esto es precisamente lo que han hecho Pablo Candela (UAM-ICMAT) y Balázs Szegedy (Alfréd Rényi Institute of Mathematics) en su artículo “Nilspace Factors for General Uniformity Seminorms, Cubic Exchangeability and Limits”, publicado en Memoirs of the American Mathematical Society.
El resultado está basado en nuevas estructuras en la teoría de la medida, denominadas acoplamientos cúbicos. Las normas de Gowers y las seminormas de Host–Kra se obtienen a partir de acoplamientos cúbicos. Los matemáticos demuestran un teorema general que describe los acoplamientos cúbicos como procedentes de objetos algebraicos y topológicos subyacentes llamados nilespacios compactos, una generalización de las nilvariedades. A partir de este teorema, se puede deducir y extender el teorema inverso para las normas de Gowers y el teorema de la estructura ergódica.
Referencia: Candela P, Szegedy B. Nilspace Factors for General Uniformity Seminorms, Cubic Exchangeability and Limits. Memoirs of the American Mathematical Society. 2023;287(1425). doi:10.1090/memo/1425