Daniel Faraco (ICMAT-UAM), Sauli Lindberg (University of Helsinki) and László Székelyhidi Jr. (Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences) firman el artículo «Magnetic helicity, weak solutions and relaxation of ideal MHD», que se publica en Communications on Pure and Applied Mathematics.
Las llamaradas solares, causantes de las auroras boreales que se observan en los Polos terrestres, son producidas por el comportamiento del plasma solar. Los plasmas son fluidos en los que actúa un campo magnético, que los matemáticos estudian a través de las denominadas ecuaciones de la magnetohidrodinámica (MHD). Estas expresiones determinan la evolución del campo de velocidades del fluido y del campo magnético que actúa sobre él. Se obtienen combinando las ecuaciones clásicas de los fluidos (las de Euler y Navier-Stokes) con las del electromagnetismo (las de Maxwell). Para analizarlas, los físicos y matemáticos estudian las llamadas cantidades integrales conservadas. Son magnitudes globales de un sistema físico que se obtienen integrando ciertas propiedades del fluido sobre toda la región en la que se encuentra, como la energía, la cantidad de movimiento y la vorticidad total.
Cuando un fluido se comporta de manera regular, estas cantidades suelen conservarse o evolucionar de manera predecible. Sin embargo, en presencia de turbulencia, la estructura matemática del fluido puede volverse tan irregular que las herramientas estándar del cálculo diferencial (como la derivación o la integración clásicas) dejan de ser aplicables directamente, lo que obliga a recurrir a métodos más sofisticados para analizarlas.
En situaciones regulares –es decir, cuando el fluido no presenta comportamientos bruscos– se mantienen constantes (aproximadamente) a lo largo del tiempo. Sin embargo, en algunos problemas de hidrodinámica con presencia de turbulencia, la energía no tiene porqué conservarse. Matemáticamente, en estas situaciones aparecen elementos tan irregulares que no es posible aplicar los métodos habituales (es decir, derivar e integrar) para estudiar las cantidades integrales, sino que es necesario emplear otros enfoques. Así lo conjeturaron en la mitad del siglo XX el matemático Andréi Kolmogorov y Lars Onsager (premio Nobel de Química en 1968).
Hace unos años, Camillo De Lellis y László Székelyhidi Jr desarrollaron un programa para dar rigor a las ideas de Kolmogorov y Onsager, mediante una técnica llamada integración convexa. Sus métodos se han empleado para estudiar las ecuaciones de los fluidos en situaciones turbulentas con éxito, pero aplicar estas ideas a las ecuaciones de la magnetohidrodinámica es más delicado, ya que aparecen otras cantidades integrales además de la energía, como la helicidad cruzada y la helicidad magnética. La primera mide cómo se entrecruzan las líneas magnéticas y las líneas de flujo del campo de velocidades. La segunda describe el comportamiento topológico de las líneas magnéticas.
Para plasmas turbulentos, las simulaciones y los experimentos apuntaban a que tanto la energía total como la helicidad cruzada se disipan de manera anómala. Sin embargo, parece que la helicidad magnética se comporta de un modo distinto: en fluidos muy conductores de la electricidad, se conserva. Esta afirmación fue conjeturada en 1974 por el físico John Bryan Taylor y es la base de su teoría de relajación.
En 2020, Daniel Faraco –profesor de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y miembro del ICMAT– y Sauli Lindberg –Universidad de Helsinki–, probaron esta conjetura de Taylor desde un punto de vista matemático. Es decir, demostraron rigurosamente que, si se considera un fluido con resistividad, la helicidad magnética se conserva aproximadamente, si la velocidad y el campo magnético tienen integrabilidad cuadrada. Precisamente, por la conservación de esta propiedad en un régimen tan turbulento como es la actividad solar, se producen las llamaradas, que después provocan las auroras.
Después, Rajendra Beekie, Tristan Buckmaster y Vlad Vicol demostraron que, considerado que no hay resistividad, existen soluciones que no conservan la helicidad magnética. Son soluciones en las que la velocidad y el campo magnético tienen integrabilidad cuadrada.
Ahora Daniel Faraco (ICMAT-UAM), Sauli Lindberg (University of Helsinki) and László Székelyhidi Jr. (Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences) han probado existen soluciones que disipan la helicidad magnética para cualquier integrabilidad, por debajo de la integrabilidad cúbica. Sabemos, por su resultado anterior, que son soluciones sin resistividad, que no pueden ser límite de soluciones con ella.
Sin embargo, en el mismo artículo demuestran que es posible construir soluciones que exhiban disipación anómala de energía, en el régimen donde ser conserva la helicidad. Son también soluciones sin resistividad, y no sabemos si son límite de soluciones con la resistividad tendiendo a cero.
Esta es la primera vez que se consigue adaptar el método de integración convexa en un régimen donde una cantidad se conserva. Sus resultados se publican en la revista Communications on Pure and Applied Mathematics.
Referencia: Faraco, D., Lindberg, S. and Székelyhidi, L., Jr. (2024), Magnetic helicity, weak solutions and relaxation of ideal MHD. Comm. Pure Appl. Math., 77: 2387-2412. https://doi.org/10.1002/cpa.22168