El artículo “Traveling Waves Near Couette Flow for the 2D Euler Equation”, firmado por Ángel Castro (ICMAT-CSIC) y Daniel Lear (Universidad de Cantabria), ha sido publicado en la revista Communications in Mathematical Physics
El llamado flujo de Couette es un tipo de flujo que aparece entre dos superficies planas paralelas, cuando una de ellas se mueve a una velocidad constante mientras la otra permanece en reposo. Es una solución de la ecuación de Euler, que describe el movimiento de los fluidos, en dos dimensiones. La estabilidad de este flujo, es decir, si pequeñas perturbaciones del mismo se disipan o se mantienen acotadas, o, por el contrario, las perturbaciones crecen y pueden llevar a turbulencia o cambios significativos en el flujo (en tal caso, sería inestable), plantea muchos interrogantes abiertos en la actualidad.
En el siglo XIX grandes científicos como Lord Kelvin, William McFadden Orr, Osborne Reynolds, John William Strutt (Lord Rayleigh), George Gabriel Stokes, Arnold Sommerfeld comenzaron a estudiar esta cuestión. En sus investigaciones pioneras descubrieron que, si el problema es lineal, es estable. Sin embargo, cuando el llamado número de Reynolds es grande, los experimentos mostraban inestabilidades y una transición hacia la turbulencia, para cualquier pequeña perturbación. Esta contradicción entre la teoría y los experimentos se conoce como la paradoja de Sommerfeld.
En la última década se ha estudiado intensamente la estabilidad del flujo de Couette para Euler 2D y se han logrado avances sustanciales. Jacob Bedrossian y Nader Masmoudi demostraron que las soluciones que comienzan cerca del flujo de Couette, al nivel de vorticidad, en un espacio de Gevrey, tienden a un flujo cercano al de Couette. El supuesto de la regularidad de Gevrey es esencial para obtener este resultado. De hecho, Yixuan Deng y Mohamed Masmoudi demostraron que el resultado anterior, en general, no se cumple.
También existen varios resultados que demuestran la existencia de soluciones estacionarias o viajeras no triviales cuando la distancia al flujo de Couette se mide en espacios de Sobolev. Aquí trivial significa que la velocidad toma la forma (u(y), 0). Por otro lado, Changxing Li y Zhen Lin demostraron la existencia de ondas viajeras suaves no triviales próximas al flujo de Couette en el espacio L2 (a nivel de la velocidad). Lin, en este caso con Changyou Zeng, demostró la existencia de soluciones estacionarias suaves no triviales de la ecuación de Euler en dos dimensiones próximas al flujo de Couette en el espacio Hs, para s<3/2 (a nivel de la vorticidad). Además, demostraron que, para s>3/2, si existe una onda viajera próxima al flujo de Couette, entonces esta onda viajera es trivial.
Siguiendo con estos esfuerzos, Ángel Castro (ICMAT-CSIC) y Daniel Lear (Universidad de Cantabria) demuestran la existencia de ondas viajeras suaves no triviales arbitrariamente cercanas al flujo de Couette en el espacio Hs (al nivel de la vorticidad), con s<3/2, y con una velocidad de desplazamiento de orden 1.
Referencia completa: Castro, Á., Lear, D. Traveling Waves Near Couette Flow for the 2D Euler Equation. Commun. Math. Phys. 400, 2005–2079 (2023). https://doi.org/10.1007/s00220-023-04636-6