Los horizontes de las matemáticas, con Máté Matolcsi (Instituto de Matemáticas Alfréd Rényi, Hungría)
Máté Matolcsi es experto en análisis de Fourier, análisis funcional y teoría de operadores.
La conjetura de Fuglede es una propuesta fascinante: busca caracterizar los llamados conjuntos espectrales –que aparecen en el área del análisis– mediante una propiedad geométrica –trazar mosaicos matemáticos–. En 2003, treinta años después de su planteamiento, y para asombro de la comunidad científica, el Medalla Fields Terence Tao encontró un ejemplo que mostraba que no era cierta. Poco tiempo después, Máté Matolcsi (Instituto de Matemáticas Alfréd Rényi, Hungría) y Mihail Kolountzakis (Universidad de Creta, Grecia) refutaron la conjetura en la otra dirección. Sin embargo, en algunos casos interesantes, aún podría ser cierta. Matolcsi hablará de los últimos avances en esta cuestión en el Coloquio Conjunto ICMAT-UAM-UCM-UC3M que se celebra el 12 de noviembre a las 12:00. Su charla, “Spectral sets, weak tiling and Fuglede’s conjecture”, tiene lugar en el Aula Azul del ICMAT y puede seguirse online en el siguiente enlace. Antes, presenta algunas de las ideas centrales del tema para no especialistas.
Ágata Timón García-Longoria (ICMAT)
Los conjuntos espectrales son objetos matemáticos que permiten analizar y entender las propiedades de funciones, señales, operadores, sistemas dinámicos… “Aunque fueron formulados, por Bent Fuglede en 1974, para estudiar operadores diferenciales parciales, es más fácil entender el concepto usando el lenguaje del análisis de Fourier, el fundamento matemático sobre el que se basan todos los sistemas de transmisión de señales –teléfonos, televisión, grabación de sonido…–“, explica Máté Matolcsi (Instituto de Matemáticas Alfréd Rényi, Hungría).
El análisis de Fourier sirve para descomponer cualquier señal en una combinación de ondas “puras” (senos y cosenos) con diferentes frecuencias e intensidades. Mediante esta herramienta, todas las señales definidas sobre el intervalo [0,1] pueden descomponerse usando únicamente números enteros como frecuencias. “En este sentido, decimos que los números enteros forman un «espectro» del intervalo [0,1]. Del mismo modo, si la señal está definida sobre el cubo unitario, podemos hacer la descomposición en ondas puras utilizando tripletes de números enteros como frecuencias. Es decir, los tripletes de enteros forman un espectro del cubo”, afirma Matolcsi. “El concepto de conjunto espectral es sólo un paso más: un conjunto X es espectral si hay un conjunto de frecuencias S que permite descomponer todas las señales sobre X usando una combinación de ondas puras, con frecuencias de S. El conjunto S se llama espectro de X”, define.
No todos los conjuntos tienen esta propiedad y muchos matemáticos han tratado de encontrar maneras para identificar los conjuntos que sí la tienen. Entre ellos, Fuglede. “Fuglede conjeturó que un conjunto X es espectral si y sólo si es posible cubrir el espacio con copias de ese conjunto X”, expone Matolcsi. En matemáticas, la idea de cubrir un espacio se parece a la de hacer un mosaico. Un cubrimiento es como un suelo cubierto completamente con azulejos: cada azulejo (que sería un elemento de cubrimiento) se coloca de manera que no queden huecos ni se superpongan. “Por ejemplo, el cubo [0,1]^3 cubre el espacio, mientras que la bola no. Y, en efecto, el cubo es espectral, mientras que la bola no lo es. Como estos, se encontraron muchos ejemplos que confirmaban su conjetura. El propio Fuglede demostró que, si X cubre el espacio siguiendo un patrón regular de rejilla, entonces X es espectral. Es el caso, por ejemplo, del hexágono regular en dos dimensiones”, añade.
En la imagen se representan cinco patrones de cubrimientos en tres dimensiones.
Sin embargo, para sorpresa de muchos, en 2003, Terence Tao (Medalla Fields en 2006) encontró un contraejemplo a la conjetura: dio con un conjunto espectral pero que no recubre el espacio. “Su ejemplo, tremendamente ingenioso, consiste en una colección de cubos dispersos en una disposición particular”, afirma. Más tarde, el propio Matolcsi junto con Mihail Kolountzakis encontraron un conjunto que cubre el espacio, pero no es espectral. Llegar al contraejemplo no fue fácil. “Nada parecía funcionar. Y, por fin, tras una larga lucha, sentimos que estábamos cerca de la solución. Sin embargo, aún faltaba una última pieza. Llegó el fin de semana, dejamos a un lado el problema y nos fuimos a la playa con nuestras familias. La última pieza del rompecabezas apareció entonces. A veces, es bueno distraerse y hacer otra cosa”, relata el matemático.
Entonces, ¿estaba Fuglede completamente equivocado? “No del todo. En primer lugar, los contraejemplos encontrados sólo funcionan en tres o más dimensiones. Por tanto, la conjetura puede seguir siendo cierta en dimensión uno y dos. De hecho, en una dimensión, hay muchos indicios de que la conjetura es cierta, aunque aún no se ha encontrado una demostración.
Por otro lado, recientemente, Matolcsi, en colaboración con Nir Lev, han demostrado que la conjetura es cierta para todos los cuerpos convexos –es decir, aquellos en los que, si tomas dos puntos cualesquiera dentro de él y los unes con una línea recta, esa línea también queda completamente dentro del conjunto– de cualquier dimensión. “Nir Lev y yo empezamos a trabajar en un caso particular de la conjetura de Fuglede en una conferencia en 2018. No pudimos avanzar mucho, pero surgió una nueva idea: el recubrimiento débil. En ese momento nos dimos cuenta de que debíamos usar ese concepto para conjuntos convexos, y dejar de lado el problema original que intentábamos resolver. Y efectivamente, ¡logramos demostrar la conjetura de Fuglede para todos los cuerpos convexos! Pero seguimos sin poder resolver el problema original con el que empezamos, un problema menor que sólo habría generado un leve interés”.
¿En qué consiste este nuevo tipo de recubrimiento? “Supongamos que tienes una ventana grande y quieres bloquear la luz que entra a través de ella usando un montón de piezas de plástico de una determinada forma y pegamento. Resulta que, si pegas solo una capa, es demasiado fina y aún puede pasar algo de luz. Necesitas al menos cuatro capas para bloquear la luz. Si la baldosa tiene forma de cuadrado, entonces es fácil: simplemente haces cuatro capas del cubrimiento, una encima de la otra, en la misma posición. Sin embargo, si la baldosa tiene forma de disco circular, no puedes simplemente apilar las cuatro capas en la misma posición, porque todos esos puntos están cubiertos cuatro veces, pero quedan huecos. Es mejor superponer de forma inteligente los discos de forma que cada punto de la ventana quede cubierto por exactamente cuatro capas, si consigues hacerlo”, explica.
Quizá “el caso más interesante de la conjetura que sigue abierto”, según Matolcsi, es el de los grupos cíclicos finitos. Se trata de recubrimientos finitos de los números enteros. “Este tipo de cubrimientos siempre repiten el mismo patrón una y otra vez –se llaman periódicos–. Por tanto, para entenderlos, basta con entender los patrones que se repiten”. A día de hoy no se comprenden todos estos patrones y existe una conjetura sobre ellos, que pretende caracterizarlos. “Si se demuestra, implicaría que todos los mosaicos son espectrales en dimensión uno. Si, además, pudiéramos demostrar que todos los recubrimientos débiles son propiamente recubrimientos (para grupos cíclicos), la otra dirección de la conjetura de Fuglede en una dimensión también quedaría demostrada”, afirma.
Máté Matolcsi
Máté Matolcsi es investigador y, desde 2023, jefe del Departamento de Análisis en el Instituto de Matemáticas Alfréd Rényi (Hungría). También es profesor a tiempo parcial en la Universidad de Tecnología y Economía de Budapest (BME).
Completó su doctorado en Matemáticas en la Universidad Eötvös Loránd (Hungría) en 2003, y desde entonces ha desarrollado una carrera en los campos del análisis funcional, el análisis de Fourier y la combinatoria aditiva. Su trabajo le ha valido numerosos premios, incluidos el Premio ICBS Frontiers of Science en 2023 y el Premio de la Academia de la Academia Húngara de Ciencias en 2024.
Coloquio conjunto de matemáticas ICMA-UAM-UCM-UC3M
“Spectral sets, weak tiling and Fuglede’s conjecture”, por Máté Matolcsi (Alfréd Rényi Institute of Mathematics). 12 de noviembre de 2024, a las 12:00 en el Aula Azul (ICMAT) y online.
Resumen: A bounded measurable set X in a d-dimensional Euclidean space is called spectral if the function space L^2(X) admits an orthogonal basis of exponentials. The easiest example is the unit cube, where elementary Fourier analysis tells you that complex exponentials with integer frequencies form an orthogonal basis. Fuglede’s conjecture stated that a set X is spectral if and only if it tiles the space by translation. The conjecture was recently proved for all convex bodies in all dimensions in a joint work of Nir Lev and Mate Matolcsi. We will review the proof, which includes the notion of weak tiling as a key ingredient. Other results and open problems related to weak tiling will also be mentioned.